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立体几何大题高考真题,有没有只利用平面几何难以证明,但是借助立体几何却变得容易奏效的平面几何题目?


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众所周知,数学中有许多著名的命题,都是从一些较为基础的分支当中提出的,且形式较为简单,初中水平就能看懂。譬如:费马大定理、代数基本定理等。但是,许多命题的证明花费了几代数学家的努力,并且都应用了较为高级的数学分支,甚至其中一些知识只有大学数学系的本科生或者是研究生才会学到。 譬如,代数基本定理,虽然它是从代数中引入的,但是它的证明或多或少都会牵涉到一些数学分析甚至是复变函数的内容。该命题目前已经有几百种证法,但没有一种是「纯代数」的证明。甚至一些人猜想,它纯粹是一个「披着代数学外衣的分析学命题」。 此外,高中阶段,借助三角函数、向量证明代数命题、借助向量证明关于实数的不等式的案例也有许多。一些只用初等数学方法难以求解的中学题目,借助一些高等数学知识可能会变得较为容易。 类似地,是否也有一些只利用平面几何难以证明,但是借助一些立体几何知识却变得较为容易的有趣的平面几何命题?(圆锥曲线与一般平面曲线除外) 毕竟现行高中课本用向量、解析几何、「数形结合」证明平面几何的案例非常多,但是用立体几何证明平面几何的思路则非常鲜见。

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